Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2016 жыл

$ABC$ сүйірбұрышты үшбұрыштың $AA_1$, $BB_1$, және $CC_1$ биіктіктері $H$ нүктесінде қиылысады. ${{A}_{0}}$, ${{B}_{0}}$, ${{C}_{0}}$ нүктелері, сәйкесінше $BC$, $CA$ және $AB$ қабырғаларының орталары. $\angle {{A}_{0}}{{B}_{2}}{{A}_{2}}=\angle {{B}_{0}}{{C}_{2}}{{B}_{2}}=\angle {{C}_{0}}{{A}_{2}}{{C}_{2}}=90{}^\circ $ болатындай, $AH$, $BH$ және $H{{C}_{1}}$ кесінділері бойында ${{A}_{2}}$, ${{B}_{2}}$, ${{C}_{2}}$ нүктелері алынған. $A{{C}_{2}}$, $B{{A}_{2}}$ және $CB_2$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз. ( А. Пастор )

Комментарий/решение

Из условия получается что $C_0C_1C_2A_2, \ A_0A_1B_2A_2, \ B_0B_1B_2C_2$ вписаны, с диаметрами $C_0C_2, \ A_0A_2, \ B_0B_2$ , пусть они равны соответственно $w_1, w_2, w_3$ отметим что $A_0A_1B_0B_1C_0C_1 = w_9$ лежат на окружности девяти точек.

Тогда радикальная ось $w_1, w_3$ есть $AC_2$, аналогично $CB_2$ это радикальная ось $w_2, w_3$ и $BA_2$ рад ось $w_1,w_2$ тогда все радикальные оси $(w_1w_2), (w_2w_3), (w_1w_3)$ пересекаются в одной точке