Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2016 год

Высоты $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Точки $A_0$, $B_0$, $C_0$ -- середины сторон $BC$, $CA$ и $AB$ соответственно. На отрезках $AH$, $BH$ и $HC_1$ отмечены точки $A_2$, $B_2$, $C_2$ соответственно, такие что $\angle A_0B_2A_2 = \angle B_0C_2B_2 = \angle C_0A_2C_2 =90^\circ$. Докажите, что прямые $AC_2$, $BA_2$ и $CB_2$ пересекаются в одной точке. ( А. Пастор )

Комментарий/решение

Из условия получается что $C_0C_1C_2A_2, \ A_0A_1B_2A_2, \ B_0B_1B_2C_2$ вписаны, с диаметрами $C_0C_2, \ A_0A_2, \ B_0B_2$ , пусть они равны соответственно $w_1, w_2, w_3$ отметим что $A_0A_1B_0B_1C_0C_1 = w_9$ лежат на окружности девяти точек.

Тогда радикальная ось $w_1, w_3$ есть $AC_2$, аналогично $CB_2$ это радикальная ось $w_2, w_3$ и $BA_2$ рад ось $w_1,w_2$ тогда все радикальные оси $(w_1w_2), (w_2w_3), (w_1w_3)$ пересекаются в одной точке