Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2021 год

Докажите, что для каждого вещественного числа $r > 2$ существуют ровно два или три положительных вещественных числа $x$, удовлетворяющих равенству $x^2 = r[x]$. (Здесь $[x]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $x$).

Комментарий/решение

Решение: Заметим, что если $x<1,$ то $r=0.$ Поэтому $x\ge 1.$ Рассмотрим $f:[1,+\infty)\to \mathbb R^+,$ что $f(x)=\dfrac{x^2}{[x]}.$

Лемма: Рассмотрим любое $n\in\mathbb N.$ На отрезке $a_n=[n,n+1)$ функция $f$ имеет область значении $b_n=\left[n,n+2+\dfrac{1}{n}\right),$ а так же биективна.

Д-во: Если $x\in a_n,$ то $f(x^2)=\dfrac{x^2}{n},$ откуда легко выводиться лемма. $\blacksquare$

Пусть $[r]=m\ge 2.$ Заметим, что $r\in[m,m+1)\subset b_m,b_{m-1},$ но $[m,m+1)\cap b_k=\emptyset,\forall k\in [1,m-3]\cup [m+1,+\infty).$

Из этого следует, что на отрезках $a_m,a_{m-1}$ функция $f$ принимает значение $r$ ровно один раз, а так же $f$ может принимать значение $r$ только на отрезках $a_{m},a_{m-1},a_{m-2}$ (при этом не более одного раза), откуда следует требуемое. $\blacksquare$

Примечание: $\bigcup\limits_{i\ge 1} a_i=[1,+\infty).$

Поймем, что у таких подходящих $x$ не может быть, что дробная часть одинаковая. Тогда кол-во подходящих дробной части $x$ соответствует кол-ву подходящих $x$.

Зафиксируем $r$ пусть тогда

$[x]=a;x-[x]=b$ тогда найдем все такие $a$, что $a \leq r < \dfrac{1}{a}+2+a$ нетрудно заметить, что их всего либо 2 либо 3 (просто подставьте $a=[r];[r]-1;[r]-2$)

Тогда уравнение в условии можно переписать в виде

$b^2+2ab+a^2-ar=0$

Зафиксируем $a$ тогда

$b^2+b \times 2a +a^2-ar=0 $

$D=4a^2-4a^2+4ar=4ar $

$b= \sqrt{ar}-a$

Подставив, поймем, что только такие значения $a$ подойдут(которые удовлетворяет неравенствам). ЧТД

Скажите пожалуйста если есть ошибка в решений

Возьмем $f(x)=\dfrac{x^2}{[x]}$ и $g(x)=r$ для какой то константы $r$. Тогда докажем что эти функции пересекаются в трех или двух точках. Заметим если взять $ c \leq x <c+1$ где $x=c+k ( 0 \leq k <1)$ тогда зафиксировав $c$:

$\mathop {\lim } \limits_{k \to 1}\dfrac{(n+k)^2}{n}= \mathop {\lim } \limits_{k \to 1}n+2k+\dfrac{k}{n}=n+2+\dfrac{1}{n}$ то есть $f(x)$ непрерывная на интервале $[n,n+2+\dfrac{1}{n})$. И так для каждого натурального $n$. Возьмем нашу функцию $g(x)=r$ и и пусть $n$ наименьшее число такое что $r$ лежит на $[n,n+2+\dfrac{1}{n})$. Тогда $n+2+\dfrac{1}{n}<n+3$ отсюда они не может пересекаются более 4 точках. Также легко понять что $r \geq n+1$ отсюда они пересекаются хотя бы в одной точке. Значит они пересекаются в двух или трех точках.