25-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Молдова, 2021 год

Пусть $A B C$ — остроугольный разносторонний треугольник, а $O$ — центр описанной около него окружности. Пусть $D$ — основание высоты, проведенной из $A$ к стороне $BC.$ Прямые $BC$ и $AO$ пересекаются в $E.$ Пусть $s$ — прямая, проведенная из $E$ перпендикулярно к $A O .$ Прямая $s$ пересекает $AB$ и $AC$ в $K$ и $L$, соответственно. Обозначим через $\omega$ окружность, описанную около треугольника $A K L .$ Прямая $A D$ пересекает ещё раз $\omega$ в $X$. Покажите, что $\omega$ и окружности, описанные около треугольников $A B C$ и $D E X$, имеют общую точку.

Комментарий/решение

Решение: Пусть прямая $AO$ пересекает $(ABC)$ во второй раз в точке $A_1.$

Лемма: Точка $A_1$ лежит на окружности $(AKL).$

Д-во: Заметим, что $\angle LEA_1=\angle LCA_1=90\implies ELCA_1-$вписанный. Тогда $\angle AKL = 90 - \angle KAE = \angle ACB = \angle AA_1L.\ \ \blacksquare$

Из этого следует, что $\angle AXA_1 = \angle A_1LC = \angle A_1EC,$ откуда следует требуемое.

Мое решение не сильно отличается от решения пользователя выше но все же.

Решение: Точно так же предположим, что $AE \cap (ABC) = A_1$.

Докажем, что $A_1 \in (AKL)$.

$\angle AA_1C = 90^\circ - \angle EAL = \angle ELA \Rightarrow ELCA_1$ — вписанный.

$\angle AKL = 90^\circ - \angle BAE = 90^\circ - \angle DAL = \angle ECL = \angle EA_1C \Rightarrow AKA_1L$ — вписанный;

Еще с $\angle AKL = \angle ACB$ следует $\triangle ABC \sim \triangle AKL$, и вдобавок $AD$ и $AE$ — соответствующие высоты. Так как $O$ лежит на $AE$, при гомотетии с центром $A$ она перемещается на $AD$, и выходит, что $AX$ — диаметр $(AKL) \Rightarrow \angle XA_1A = 90^\circ = \angle XDE \Rightarrow XDEA_1$ — вписанный.

Доказательство на этом завершается, так как $A_1$ — искомая общая точка.