Областная олимпиада по математике, 2003 год, 11 класс

Дан треугольник $ABC$. Окружность $ \Gamma $ содержит вершину $A$ и касается стороны $BC$ в точке $P$. Окружность $ \Gamma $ пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Докажите, что дуги $MP$ и $NP$ равны тогда и только тогда, когда окружность $\Gamma $ касается окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Комментарий/решение

Если $MP=NP$ тогда $AP$ - биссектриса $\angle BAC$, так как на равные хорды опираются равные вписанные углы, тогда применяя лемму Архимеда, окружность $\Gamma$ должна касаться описанной окружности $ABC$