9-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2022 год, вторая лига, 9-10 классы

Пусть $O$ --- центр описанной окружности треугольника $ABC$. На сторонах $AC$ и $BC$ выбраны произвольные точки $M$ и $N$ соответственно. Точки $P$ и $Q$ лежат в той же полуплоскости относительно прямой $MN$, что и точка $C$, и удовлетворяют условию $\triangle CMN \sim \triangle PAN \sim \triangle QMB$ (подобия с указанным порядком вершин). Докажите, что $OP = OQ$.

Комментарий/решение

$P,A,N,C$ лежат на одной окружности, $Q,B,M,C$ лежат на одной окружности. Тогда $\angle CNM = \angle PNA = \angle PCA; \angle CMN = \angle QMB = \angle QCB \Rightarrow \angle PCA + \angle QCB + \angle MCN = 180$.

То есть $PCQ$ - одна прямая. $H=MN \cap (PCNA), I=MN \cap (CQBM)$, $\angle CNM = \angle PNA \Rightarrow \angle CNP = \angle HNA$, поэтому $PCAH$ - равнобокая трапеция. Так же определяется, что $QCBI$ - равнобокая трапеция. Тем самым серединные перпендикуляры к $QI$ и $HP$ пересекаются в $O$. $\angle HPQ = \angle CNI = 180 - QIH$, следовательно $HPQI$ вписанный и $OQ=OP$.

Очевидно что $PANC$ и $QBMC$ вписаны. Тогда:

$\angle PCB=180-\angle PAN=180-\angle QMB=\angle QCB \Longrightarrow P-A-Q$

Пусть $(ABC) \cap PQ=S$

Claim: $QS \cdot QC=PS \cdot PC$

Заметим что тк $\angle BQS=\angle BMA$ и $\angle QSB=\angle MAB$ тогда $B$ центр поворотной гомотетии которая поворачивает $SQ \rightarrow AM$. И аналогично $PS \rightarrow NB$ с центром $A$. Тогда посчитав соотношение используя подобнын треугольники. Можно понять что:

$\dfrac{PS}{QS}=\dfrac{NB \cdot PA \cdot BM}{MA \cdot AN \cdot QB} : (1)$

Из условие можно понять что $M,N$ центры поворотной гомотетии которые поворачивают $CP \rightarrow AM, CQ \rightarrow BN.$ тогда также из подобностей можно понять что:

$\dfrac{QC}{PC}=\dfrac{NA \cdot NB \cdot MQ}{MA \cdot PN \cdot MB} : (2)$

Приравниваем $(1)$ и $(2)$ тогда из подробностей из условие можно понять что они равны и отсюда утверждения доказано.

Из утверждение следует что $OP^2-R^2=Pow_{(ABC)}(P)=Pow_{(ABC)}(Q)=OQ^2-R^2 \Longrightarrow OP=OQ$