Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, II тур регионального этапа

$ABC$ үшбұрышының ішінде $\angle KCB+\angle ACB = \angle KBC+\angle ABC = 120^\circ$ болатындай $K$ нүктесі таңдалады. $AB$ қабырғасының $B$-дан әрі созындысында $P$ нүктесі, ал $AC$ қабырғасының $C$-дан әрі созындысында $Q$ нүктесі $BK = BP$ және $CK = CQ$ болатындай етіп таңдалған. $BQ = CP$ екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Пусть точка $D$ симметрична точке $K$ относительно стороне $BC$. В силу симметрии $ \angle KBC= \angle DBC= \alpha, BK=BP=BD, \angle KCB=\angle DCB=\beta, CK=CQ=CD$ По условию получается $\angle ABK=120-2\alpha, \angle ACK=120-2\beta \Rightarrow \angle PBD= \angle DCQ=60^\circ \Rightarrow \triangle BPD, \triangle CDQ$ равносторонние. $\angle BDC$ общий $\Rightarrow \triangle PDC= \triangle BDQ \Rightarrow PC=BQ$