Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, III тур дистанционного этапа

20 санның қосындысы 0-ге тең. 9 көк санның қосындысы 10 қызыл санның қосындысынан кем болмайтындай етіп, 20 санның 10-ын қызыл түске, ал басқа 9 санды көк түске бояуға болатынын дәлелдеңіздер. ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Допустим из этих $20$ чисел не найдется $10$ чисел сумма который не равен $0$

Из $20$ можно выбрать $184756$ неповтаряющих $10$ чисел. Их всех сложим, тогда сумма будет равен $0$. Значить сумма каких то десять из них должен равняться нулю.

Эти десять чисел берем отдельно и номеруем $a_{1},$ $a_{2}$,... , $a_{10}$.

А вторую группу номеруем от $a_{11}$ до $a_{20}$. Очевидно что из этих $20$ найдется какой-то $a_{i}$ $\leq$ $0$. Б.О.О $a_{i}$ $=$ $a_{10}$ $\Rightarrow$ $a_{1} + a _{2} + ... + a_{9}$ $\geq$ $0$ = $a_{11} + a _{12} + ... + a_{20}$

Высказывание что найдутся 10 чисел сумма которых 0 не верное, ведь возьмем случай

1,1,1,1...,1,-20. Тут сумма любых 10 не равна 0

Расположим все числа в порядке не убывания, тогда возьмем 11 число как $S$, а первые 10 как $S-x_{1} , S-x_{2}...., S-x_{10}$, где $x_{n}\geq0$, аналогично последние 9 равны $S+x_{12},... S+x_{20}$, тк их вся сумма равно 0, значит

$x_{12}+x_{13}...+x_{20}-x_1-x_2 ... - x_{10} = -20\times S$, отсюда следует что $x_1+x_2...+x_{10}-x_{12}-x_{13}...-x_{20}=20\times S$ (formula 1)

Если мы хотим доказать что сумма последних 9 не меньше первых 10, надо доказать что

$9\times S + x_{12} + x_{13}...+x_{20} - 10\times S + x_1 + x_2... + x_{10} \geq0$

Значит надо доказать

$x_1+x_2...+x_{10}+x_{12}...+x_{20}\geq S$

Так как $x_n\geq0$, значит сумма всех $x_i (i=1; i->20; i≠11)$ не меньше чем каждое значение из formula 1, следовательно

Если S - отрицательное, значит $-20\times S$ > $S$, иначе $20\times S \geq S$, значит $x_1+x_2...+x_{10}+x_{12}...+x_{20}\geq S$

Ответ: доказано