Республиканская олимпиада по математике, 2025 год, 9 класс

$O$ нүктесі — теңбүйірлі емес сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер центрі, aл $H$ — осы үшбұрыштың биіктіктерінің қиылысу нүктесі. $H$ арқылы өтетін және $BC$-ға параллель түзу $AB, AC$ түзулерін, сәйкесінше, $A_1, A_2$ нүктелерінде қияды. Дәл осылай $B_1,B_2,C_1,C_2$ нүктелерін анықтайық. $AA_1A_2$, $BB_1B_2$ және $CC_1C_2$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлерінің радикал центрі $OH$ түзуінің бойында жатқанын дәлелдеңіз. (Үш шеңбердің радикал центрі деп, олардың екі екіден алынғандағы шеңберлерінің радикал өстерінің қиылысу нүктесін айтамыз.) ( Зауытхан А. )

Комментарий/решение

Проведем высоту $AD$. И пусть касательные к опис окр $ABC$ в точках $C$ и $B$ пересекаются в $M$. Тогда не сложно доказать что $MD$ является радикальной осью $BB_1B_2$ и $CC_1C_2$. Отсюда эти три рад оси пересекаются с $OH$ в центре гомотетии которая переводид ортогональный треугольник в треугольник образовавшейся касательными.

А что если дети не знают что такое рад ось? Не порядок, надо избегать таких формулировок. Когда я участвовал на респе 9 кл, будучи 8 классником, то даже углы считать не умел, не говоря уже о степени точки и рад осях. А так на угаре задача)))

рад ось и степень точки в 9 классе проходят

В школьной программе ничего подобного и в помине нет и рассказывается разве что на доп занятиях. Безусловно, большинство участников будет знать эти темы, но несмотря на это, на респу 9 кл можно пройти и без этих знаний

я в наивысшей степени счастья от того как развиваются математики казахстана, кроме пользователя abdulkashib

Чалышшы брат

Пусть касательные в точках $A$ и $B$ к опис окружности $ABC$ пересекаются в точе $K$.Очевидно это так же касательные и к $AA_1A_2$ и $BB_1B_2$ т.е $K$ лежит на рад оси этих окружностей.Пусть $Y$ высота с $C$ на $AB$.(!)$\frac{YA}{YB}=\frac{YB_2}{YA_1}$ применим Ratio lemma в $AHB$:

$\frac{YB}{YA}=\frac{BH}{AH}\cdot\frac{\sin(YHB)}{\sin(YHA)}=\frac{\cos(B)}{\cos(A)}\cdot\frac{\sin(A)}{\sin(B)}$.

Ratio lemma в $A_1B_2H$:

$\frac{YA_1}{YB_2}=\frac{\sin(A_1B_2H)}{\sin(B_2A_1H)}\cdot\frac{\sin(YHA_1)}{\sin(YHB_2)}=\frac{\sin(A)}{\sin(B)}\cdot\frac{\cos(B)}{\cos(A)}$.

$\Rightarrow \frac{YA}{YB}=\frac{YB_2}{YA_1}\Rightarrow Y$ лежит на рад оси окружностей $AA_1A_2$ и $BB_1B_2\Rightarrow KY$ это рад ось.Теперь пусть касательные в $A$ и $C$ к окружности $ABC$ пересекаются в точке $T$ а $Z$ это высота с $B$ на $AC$.Тогда очевидно что $HZY$ и $OKT$ гомотетичны из счета углов $\Rightarrow KY;TZ;OH$ пересекаются в 1 точке.Ч.Т.Д.

Bro просто переписал решение выше высрав синусами