Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2014 год. Турция

На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ отметили точки $D$ и $E$, соответственно, такие, что $DB=BC=CE$. Прямые $CD$ и $BE$ пересекаются в точке $F$. Пусть $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC,$ $H$ — ортоцентр треугольника $DEF$, а $M$ — середина дуги $BAC$ описанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что точки $I,$ $H,$ $M$ лежат на одной прямой.

Комментарий/решение

Очевидно, что $F$ является ортоцентром треугольника $BIC$. Пусть точки $P$ и $Q$ - середины $BD$ и $CE$ соответственно.

Несложно понять, что прямые $HI$ и $PQ$ перпендикулярны, так как $HI$ является радикальной осью окружностей, построенных на $BD$ и $CE$, как на диаметрах. Учитывая, что радиусы данных окружностей равны (они равны $\frac{1}{2}BC$), верно что, $HI$ - серединный перпендикуляр к отрезку $PQ$. Так как $M$ - середина дуги $BAC$, то $MB=MC$. Также верно, что $BP=CQ$ и $\angle PBM=\angle ABM=\angle MCA=\angle MCQ$. Таким образом, заключаем что, треугольники $MPB$ и $MQC$ равны, то есть $MP=MQ$, значит $M$ лежит на серединном перпендикуляре к $PQ$, значит точки $I,H$ и $M$ действительно лежат на одной прямой.