қазақша
русскийЕвропейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2014 год. Турция
Задача №1. Найдите все действительные значения $t$ такие, что из того, что числа $a, b, c$ являются длинами сторон некоторого треугольника, следует, что и числа $a^{2}+b c t,$ $b^{2}+c a t,$ $c^{2}+ab t$ тоже являются длинами сторон некоторого треугольника.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ отметили точки $D$ и $E$, соответственно, такие, что $DB=BC=CE$. Прямые $CD$ и $BE$ пересекаются в точке $F$. Пусть $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC,$ $H$ — ортоцентр треугольника $DEF$, а $M$ — середина дуги $BAC$ описанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что точки $I,$ $H,$ $M$ лежат на одной прямой.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Для натурального числа $m$ обозначим через $d(m)$ количество всех его натуральных делителей, а через $\omega(m)$ — количество его различных простых делителей. Пусть $k$ — натуральное число. Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел $n$ таких, что $\omega(n)=k$, и $d(n)$ не делит $d\left(a^{2}+b^{2}\right)$ ни при каких натуральных $a, b$, удовлетворяющих условию $a+b=n$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Найдите все целые числа $n \geq 2$, для которых существует набор $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n-1}$ целых чисел, такой, что если $0
Задача №5. Пусть $n$ — натуральное число. Имеется $n$ коробок, в каждой из которых лежит неотрицательное количество камешков. За ход можно достать два камешка из любой коробки, один из них выбросить, а второй переложить в любую другую коробку. Начальное расположение камешков назовем разрешаемым, если из него за конечное количество шагов (может быть и нулевое) можно добиться того, что все коробки станут непустыми. Найдите все неразрешаемые начальные расположения камешков, такие, что в какую коробку ни добавь один камешек, расположение станет разрешаемым.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №6. Найдите все функции $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, удовлетворяющие равенству $$ f\left(y^{2}+2 xf(y)+f(x)^{2}\right)=(y+f(x))(x+f(y)) $$ при всех действительных значениях $x$ и $y$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)