Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2014 год. Турция

Найдите все функции $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, удовлетворяющие равенству $$ f\left(y^{2}+2 xf(y)+f(x)^{2}\right)=(y+f(x))(x+f(y)) $$ при всех действительных значениях $x$ и $y$.

Комментарий/решение

Ответы: $f(x) = x; f(x) = -x; f(x) = \dfrac{1}{2} - x$

Решение: $P(x, -f(x)): f(2f(x)^2 + 2xf(-f(x))) = 0$

$P(-f(x), x): f(x^2-2f(x)^2+f(-f(x))^2) = 0$

Допустим $f(a)=f(b)=0,$ тогда, из $P(a, a), P(a, b), P(b, a), P(b, b)$ выйдет: $$a^2 = f(a^2)=ab=f(b^2)=b^2,$$ то есть $a=b.$ Тогда для любого вещественного $x,$ выполняется равенство: $$2f(x)^2 + 2xf(-f(x)) = c = x^2-2f(x)^2+f(-f(x))^2 { \color{red}{(1)}}$$ где $c$ - какая-то вещественная константа. Тогда: $$\left(\dfrac{c-2f(x)^2}{2x} \right)^2 = f(-f(x))^2 = c + 2f(x)^2 - x^2.$$ То есть: $$4(f(x)^2)^2 - (8x^2+4c)f(x)^2 + (4x^4-4x^2c+c^2) = 0.$$ Что по дискриминанту равносильно: $$f(x)^2 = x^2 + \dfrac{c}{2} \pm \sqrt{2x^2c}$$ Или же $$f(x)^2= \left(x \pm \sqrt{\dfrac{c}{2}} \right)^2$$ Вспомним что $f(c)=0$, то есть $ \left(c \pm \sqrt{\dfrac{c}{2}} \right) = 0.$ Заметим что $2x^2c \geq 0$, то есть $c \geq 0.$ Тогда либо $c=0$ либо $c + \sqrt{\dfrac{c}{2}} > 0.$ Значит $c - \sqrt{\dfrac{c}{2}} = 0,$ то есть $c= \dfrac{1}{2}$. Тогда осталось разобрать два случая: $c=0, c= \dfrac{1}{2}$.

$(i)$ $c=0.$ Тогда $f(0)=0$ и $ \forall x \neq 0, f(x) = x$ или $f(x)= -x$. Осталось разобрать случай $x \neq y;$ $x,y \neq 0, f(x)=x, f(y) = -y$ что очень легко разбирается. Отсюда и исходят ответы. Легко убедиться что они подходят.

$(ii)$ $c = \dfrac{1}{2}$. $f(x)^2=(x \pm \dfrac{1}{2})^2$, $P(x, x): f((f(x)+x)^2) = (f(x)+x)^2$. Заметим, что уравнение $f(x) = x$ разрешимо только при $x= \dfrac{1}{4}, x = -\dfrac{1}{4}$. Значит $(f(x)+x)^2= \dfrac{1}{4}$, $f(x) = \dfrac{1}{2} - x$ либо $f(x) = -\dfrac{1}{2} - x$. Заметим что из $f \left( \dfrac{1}{2} \right) = 0$ и $ { \color{red}{(1)}}$, выходит $f(0) = \dfrac{1}{2}, f(-\dfrac{1}{2}) = 1$. Тогда если рассмотреть $P(x, 0)$, где $x \neq 0, -\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}$, то выйдет что $f(x) = -\dfrac{1}{2} - x$ невозможно. Значит $f(x) = \dfrac{1}{2} - x$ является третьим ответом, который подходит.