Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2022 год. Венгрия

Әрбір $n \geq 2$ натурал саны үшін, келесі шарттарды қанағаттандыратын $a_0,a_1,\ldots,a_N$ нақты сандар жиыны табылатындай, мүмкін болатын ең үлкен $N$ натурал санын табыңыз:
   (1) $a_0+a_1=-\frac{1}{n}$;
   (2) $\left(a_k+a_{k-1}\right)\left(a_k+a_{k+1}\right)=a_{k-1}-a_{k+1}$ кез келген $1 \leq k \leq N-1$ үшін.

Комментарий/решение

Возьмем $b_k=a_k+a_{k+1}$, тогда заметим что $b_k \cdot b_{k-1}=b_{k-1}-b_{k}$ <=> $1=\dfrac{1}{b_k}-\dfrac{1}{b_{k-1}} : \forall 1 \leq k \leq N-1$. Заменим $c_n=\dfrac{1}{b_n}$ и получим что $c_k-c_{k-1}=1$, и используя то что $c_0=-n \Rightarrow c_k=-n+k : \forall k$.

Если $N \geq n+1$ отсюда $b_{n+1}=\dfrac{1}{c_n}=\dfrac{1}{0}$ что невозможно отсюда $MAX[N]=n$.