Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2023 год. Словения

Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышы берілген. $AD$ — үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер диаметрі. $K$ және $L$ нүктелері, сәйкесінше, $AB$ және $AC$ кесінділерінде жатқан нүктелер, мұнда $DK$ және $DL$ — $AKL$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді жанайтын түзулер. $KL$ түзуі $ABC$ үшбұрышының ортоцентрі арқылы өтетінін дәлелдеңіз.
   Үшбұрыштың ортоцентрі — оның биіктіктерінің қиылысу нүктесі.

Комментарий/решение

Пусть $H$ — середина $KL$. Понятно, что $KL\perp DM$. Тем самым, четырехугольники $BKHD$ и $HLCD$ — вписанные, так как $\angle KBD=\angle KHD=\angle LCD=90^\circ$. Отсюда, $$90^\circ-\angle KBH=90^\circ-\angle ABH=\angle HBD= \angle DKH=\angle KAL =\angle BAC,$$ значит $BH\perp AC$. Аналогично $CH\perp AB$, что завершает решение задачи.