Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2023 год. Словения

Дан остроугольный треугольник $ABC$. Пусть $D$ — точка на его описанной окружности такая, что $AD$ — её диаметр. Точки $K$ и $L$ лежат на отрезках $AB$ и $AC$ соответственно так, что $DK$ и $DL$ — касательные к окружности, описанной около треугольника $AKL$. Докажите, что прямая $KL$ проходит через ортоцентр треугольника $ABC$.
   Ортоцентром треугольника называется точка пересечения его высот.

Комментарий/решение

Пусть $H$ — середина $KL$. Понятно, что $KL\perp DM$. Тем самым, четырехугольники $BKHD$ и $HLCD$ — вписанные, так как $\angle KBD=\angle KHD=\angle LCD=90^\circ$. Отсюда, $$90^\circ-\angle KBH=90^\circ-\angle ABH=\angle HBD= \angle DKH=\angle KAL =\angle BAC,$$ значит $BH\perp AC$. Аналогично $CH\perp AB$, что завершает решение задачи.