Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2023 год. Словения

Дан треугольник $ABC$ с описанной около него окружностью $\Omega$. Пусть $S_{b}$ и $S_{c}$ — соответственно середины дуг $AC$ и $AB$, не содержащих третью вершину треугольника $ABC$. Пусть $N_{a}$ — середина дуги $BAC$ (дуги $BC$, содержащей вершину $A$). Пусть $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Пусть $\omega_{b}$ — окружность, которая касается прямой $AB$ и внутренним образом касается окружности $\Omega$ в точке $S_{b}$, и пусть $\omega_{c}$ — окружность, которая касается прямой $AC$ и внутренним образом касается окружности $\Omega$ в точке $S_{c}$. Докажите, что прямая $IN_{a}$ и прямая, проходящая через точки пересечения окружностей $\omega_{b}$ и $\omega_{c}$, пересекаются на окружности $\Omega$.

Комментарий/решение

$O$ - центр описанной окружности $ABC$, из условия следует что $O_b;O_c$ центры окружностей соответственно лежат на $OS_b, \ OS_c$ тогда если $l_b, l_c$ касательные к эти окружностям в точках $S_b, S_c$ пусть они пересекаются в $K$.

Если $J,H \in \omega_b \cap \omega_c$ тогда $AH, \ l_b, \ l_c$ пересекаются в $K$ как радикальные оси $\omega_b, \ \omega_c, \ ABC$.

Пусть $T \in S_bS_c \cap JH$ и $D,G$ точки касания этих окружностей с $AB,AC$ соответственно, тогда из того что $AC || KS_b, \ AB || KS_c \ (1)$ получается что $S_c, \ D, \ G, \ S_b$ лежат на одной прямой, тогда $S_cT \cdot GT = JT \cdot HT = S_bT \cdot DT$

откуда $$\dfrac{S_cT}{S_bT} = \dfrac{DT}{GT}$$ учитывая $(1)$ получается что $A \in JH$.

Если $M \in JH \cap \omega_{ABC}$ тогда $KM$ симедиана $MS_cS_b$, из определения точки $N_a$ получается $\angle N_aOS_b = \angle ACB = C$ но $\angle S_cOA = \angle C$ то есть $S_cA = N_aS_b$ значит $MN_a$ медиана $S_cMS_b$, пусть $V \in MN_a \cap S_cS_b$, значит $V$-середина $S_cS_b$, по известному свойству $(AM, TK) = -1$ гармоническая четверка, если $X \in S_cM \cap AB, \ Y \in S_bM \cap AC$ тогда с проецировав эти точки из $S_c, \ S_b$ на прямую $AB, \ AC$ учитывая $(1)$ получается $AG=YG, \ AD=XD$ значит $DG || XY$ откуда $AX=AY$ если $I' \in MN_a XY$ значит $I'X=I'Y$ откуда $AI' \perp XY$ как высота равнобедренного треугольника $AXY$ и так как $DG$ его средняя линия, то $S_bA=S_bI', \ S_cA = S_cI'$ но по лемме о трезубце, $S_bA=S_bSC = SI$ и $S_cA=S_cB=S_cI$ значит $I'=I$ .