Юниорская олимпиада по математике. Областной этап. 2024-2025 учебный год. 8 класс.

Для каждого натурального числа $n$ через $d(n)$ обозначим количество всех его натуральных делителей, включая 1 и само число $n$. Найдите все натуральное числа $n$ такие, что $d(n)=d(n+72)=3.$

Комментарий/решение

Если $d$($m$) = 3 тогда $m$ = $p^2$ где $p$ простое число.

То есть $n = p^2$ и $n+72 = q^2$ где $p$ и $q$ простые числа.

$p^2 + 72 = q^2$

$72 = q^2 - p^2 = (q-p)(q+p)$

$q=19, p=17$

$q=11, p=7$ ,

Значит, $n = 49 ; 289$