Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2022 год

$ABC$ теңқабырғалы үшбұрышында $M$ нүктесі $AB$ қабырғасының ортасы. $BC$ қабырғасынан $BD:DC=3:1$ болатын $D$ нүктесі таңдалды. $C$ нүктесі арқылы $MD$ түзуіне параллель жүргізілген түзу бойында, үшбұрыштың ішінде, келесідей $T$ нүктесі табылады: $\angle CTA=150^\circ$. $\angle MTD$ бұрышын табыңыз. ( К. Иванов )

Комментарий/решение

Возьмём середину $BC$—$F$. $F'$ симметрична точке $F$ относительно отрезку $MD$. Пока что докажем что $T \equiv F'$. В силу симметрии $AM=MB=0.5AC=MF=MF' \Rightarrow ABFF'$ вписанный $\Rightarrow \angle AF'F=180^\circ-60^\circ=120^\circ, FD=DC=DF' \Rightarrow \angle FF'C=90^\circ \Rightarrow \angle CF'A=150^\circ$, в силу симметрии $FF' \perp MD \Rightarrow MD \parallel CF'$ и зная что в треуголнике есть единственная точка под которым стороны видны заданным углом понимаем что $F'\equiv T$ в силу симметрии $\angle MTD= \angle MFD= 180^\circ-\angle BAC=180^\circ-60^\circ=120^\circ$