Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2023 год

Есть гексагональная доска со стороной $n$ клеток, на ее клетках лежат шестиугольные плитки, пронумерованные натуральными числами. Две соседние клетки доски оставлены пустыми, благодаря чему плитки можно двигать. Две соседние по стороне плитки поменяли местами (см. пример на рисунке). Докажите, что при $n \geqslant 3$, двигая плитки, не удастся из первого положения получить второе. Примечание. Чтобы подвинуть плитку $a$, рядом должны находиться две пустые клетки. Например, если они расположены справа от плитки $a$ (левый рис.), мы можем подвинуть плитку $a$ вправо, пока она не упрется углом (рис. в центре), после чего ее можно сдвинуть вправо вверх или вправо вниз (рис. справа). ( E. Roldan, R. Karpman )