Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2023 год

Натурал $n$ саны берілген. $(0,1)$ аралығында $A$ жиыны — сондай $x$ нүктелері, сонда кез келген $q\le n^2$ болатын бөлшек $\frac{p}{q}$ үшін $$\left|x-\frac{p}{q}\right|>\frac{1}{n^3}.$$ $A$ жиыны интервалдардың бірігуі болып табылатынын және олардың жалпы ұзындығы $\frac{100}{n}$-нен аспайтынын дәлелдеңіз. ( Ф. Петров )