Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2023 год

Дано натуральное число $n$. Пусть $A$ — множество точек $x$ интервала $(0,1)$ таких, что $\left|x-\frac{p}{q}\right|>\frac{1}{n^3}$ для любой рациональной дроби $\frac{p}{q}$ со знаменателем $q \leqslant n^2$. Докажите, что $A$ представляет собой объединение интервалов суммарной длины не более $\frac{100}{n}$. ( Ф. Петров )