Международная олимпиада 2025, Саншайн-Кост (Квинсленд), Австралия, 2025 год

Пусть $\Omega$ и $\Gamma$ - окружности с центрами $M$ и $N$ соответственно, такие, что радиус $\Omega$ меньше радиуса $\Gamma$. Предположим, что окружности $\Omega$ и $\Gamma$ пересекаются в двух различных точках $A$ и $B$. Прямая $M N$ пересекает $\Omega$ в точке $C$, а $\Gamma$ - в точке $D$, так что точки $C, M, N$ и $D$ лежат на этой прямой в указанном порядке. Пусть $P$ - центр описанной окружности треугольника $A C D$. Прямая $A P$ второй раз пересекает $\Omega$ в точке $E \neq A$. Прямая $A P$ второй раз пересекает $\Gamma$ в точке $F \neq A$. Пусть $H$ - точка пересечения его высот треугольника $P M N$.
   Докажите, что прямая, проходящая через точку $H$ и параллельная $A P$, касается описанной окружности треугольника $B E F$.

Комментарий/решение

$\angle ACD=\angle CAM=\alpha=\dfrac{\angle APD}{2}=\angle APN=\angle DPN \Longrightarrow ACPN$ вписанный $\Longrightarrow \angle CPM=\angle APM=\dfrac{\angle APC}{2}=\angle ADC=\angle DAN=\theta \Longrightarrow $ $AMPD$ вписанный $\Longrightarrow \angle MAP=\angle MDP=\angle NCP=\angle NAP=90-\alpha-\theta$

Let $ME \cup NF=G\Longrightarrow \angle MEA=\angle MAE=\angle NAE=\angle NFA\Longrightarrow ME\parallel AN; MA\parallel NF$

$\angle BEF=\angle BCA=2\alpha; \angle BFA=\angle BDA=2\theta \Longrightarrow \angle EBF=180-2\alpha-2\theta=180-\angle EGF \Longrightarrow BEGF$ is cylic (P.S. $\angle EGF=180-\angle MGN=180-\angle MAN=2\alpha+2\theta$). $\angle PDN=\angle PCM=90-\alpha-\theta\Longrightarrow \angle MNP=\angle PDN+\angle DPN=90-\theta\Longrightarrow \angle NMH=\theta=\dfrac{\angle GMN}{2}=\angle GMH$ и $\angle NMP=\angle PCM+\angle CPM=90-\alpha\Longrightarrow \angle MNH=\alpha=\dfrac{\angle MNG}{2}=\angle GNH\Longrightarrow H$ инцентр треугольника $\triangle MNG\Longrightarrow \angle MGH=\angle NGH=90-\alpha-\theta=\angle GEF=\angle GFE \Longrightarrow GH\parallel EF\parallel AP$ и $GH$ касается с $(BEFG)$ в точке $G$

$\angle ACD=\angle BCD=\angle APN=\angle DPN=a$

$\angle ADC=\angle BDC=\angle APM=\angle CPM=b$

$2\angle BAE=2c=\angle BME=\angle BNF (ME\cup NF=I) \Longrightarrow \triangle BME\sim \triangle BNF\Longrightarrow BEI+\angle BFI=180-\angle BEM+\angle BNF=180\Longrightarrow BFIE$ вписанный.

$\angle CPH=\angle DPH=2a-c=2b+c\Longrightarrow \angle NMO=\angle BMN-\angle BMO=2b ; \angle NMH=\angle NPH=b=\angle OMH$

$\angle MNO=\angle MNB+\angle BNF=2a ; \angle MNH=\angle MPH=a=\angle ONH\Longrightarrow \angle EOH=\dfrac{\angle MOH}{2}=90-a-b\Longrightarrow \angle FOE=2a+2b; \angle OEF=\angle MEA=\dfrac{180-\angle AME}{2}=\dfrac{180-\angle AMD-\angle DME}{2}=90-a-b=\angle OFE=\angle EOH \Longrightarrow AP\parallel EF\parallel OH(\angle HOE=\angle OEF)$ $\angle HOE=\angle OFE\blacksquare$