Международная олимпиада 2025, Саншайн-Кост (Квинсленд), Австралия, 2025 год

Алиса и Базза играют в игру коалация, игру для двух игроков, правила которой зависят от положительного действительного числа $\lambda$, известного обоим игрокам. На $n$-ом ходу игры (начиная с $n=1$ ) происходит следующее:
   $\bullet$ Если $n$ нечётно, то Алиса выбирает неотрицательное действительное число $x_n$ такое, что $$x_1+x_2+\cdots+x_n \leqslant \lambda n .$$
   $\bullet$ Если $n$ чётно, то Базза выбирает неотрицательное действительное число $x_n$ такое, что $$ x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2 \leqslant n . $$ Если игрок не может выбрать подходящее число $x_n$, игра заканчивается и другой игрок выигрывает. Если игра продолжается бесконечно, ни один из игроков не выигрывает. Все выбранные числа известны обоим игрокам.
   Определите все значения $\lambda$, для которых у Алисы есть выигрышная стратегия, и все значения, для которых у Баззы есть выигрышная стратегия.

Комментарий/решение

Если $\lambda >\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ Алиса играет так $:x_1=x_3=x_{2n-1}=0\Longrightarrow x_1+x_2+...+x_{2n}\le \sqrt{n(x_2^2+x_4^2+...+x_{2n})}\le n\sqrt{2}\le 2n\lambda$ и если Алиса выбирает число $x_{2n+1}=0$ то она не проиграет. $(!)\exists a, a^2(2\lambda-\sqrt{2})^2>2a+2:$ $f(x)=x^2(2\lambda-\sqrt{2})^2-2x-2.$ Пусть $b>a$ и $a+b>\dfrac{2}{(2\lambda-\sqrt{2})^2}\Longrightarrow f(b)-f(a)=(b-a)((2\lambda-\sqrt{2})^2(a+b)-2)>0\Longrightarrow $Функция $f$ строго возрастающая, значить существует достаточно большое число $m$ где $f(m)>0\blacksquare$ Если Алиса выбирает число $x_{2m+1}=2m\lambda-(x_1+x_2+...+x_{2m})\ge m(2\lambda-\sqrt{2})\Longrightarrow x_1^2+x_2^2+...+x_{2m+1}^2+x_{2m+2}^2\ge x_{2m+1}^2\ge m^2(2\lambda-\sqrt{2})^2>2m+2$ и Базза проиграет.

Если $\lambda<\dfrac{2}{\sqrt{2}}$ Базза играет так $:x_{2n}=\sqrt{2-x_{2n-1}^2}\Longrightarrow (!)x_{2i+1}<\sqrt{2}.$ База индукции $:n=1\Longrightarrow x_1\le \lambda<\sqrt{2} \checkmark.$ Переход $:n\rightarrow n+1\Longrightarrow x_{2n+1}\le \lambda(2n+1)-(x_1+x_2+...+x_{2n})\le n\sqrt{2}+\lambda-n\sqrt{2}<\sqrt{2}$

$(!)\exists a, a\sqrt{2}>\lambda(2a+1): f(x)=\sqrt{2}-\lambda(2a+1).$ Пусть $b>a\Longrightarrow f(b)-f(a)=(l-k)(\sqrt{2}-2\lambda)>0\Longrightarrow $ Функция $f$ строго возрастающая, значить существует большое число $m$, такое что$f(m)>0\blacksquare\Longrightarrow 2_{2m+1}\le \lambda(2m+1)-(x_1+x_2+...+x_{2m})\le \lambda(2m+1)-m\sqrt{2}<0$ Значить Алиса проиграет.

Если $\lambda=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ никто не выигрывает — оба игрока могут бесконечно использовать свои стратегии $\blacksquare$.