Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2025 год

Пусть $n \geq 3$ — целое число. На окружности расположены $n$ ячеек, и в каждой ячейке записано либо 0, либо 1. В одной из ячеек находится петух, который выполняет следующую операцию:
   $\bullet$ Если находится в ячейке, в которой записан 0, он меняет этот нолик на 1 и переходит на следующую ячейку против часовой стрелки.
   $\bullet$ Если петух находится в ячейке, в которой записан 1, он меняет эту единицу на 0 и переходит через одну ячейку против часовой стрелки.
   Докажите, что через достаточно большое число операций выполняется следующее утверждение: Если петух находится в ячейке $C$, то он совершит ровно три полных круга по окружности и снова окажется в $C$. Более того, к этому моменту каждая ячейка будет содержать то же самое значение, что и перед тем, как петух начал обходить эти три круга.