Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2025 год

Натурал сандардан тұратын $a_1, a_2, \ldots$ шексіз тізбегінде кез келген натурал $m$, $n$ сандары үшін $100!\left(a_{m}+a_{m+1}+\cdots+a_{n}\right)$ саны $a_{n-m+1} a_{n+m}$ санына бөлінеді, бұл жерде $m \leq n$. Осы тізбектің немесе шектелген, немесе сызықты тізбек екенін дәлелдеңіз. (Егер барлық $n \in \mathbb{N}$ үшін $a_n < N$ болатындай тұрақты $N$ саны табылса, онда тізбек шектелген деп аталады. Егер барлық $n \in \mathbb{N}$ үшін $a_n = n \cdot a_1$ болса, онда тізбек сызықты деп аталады.)