Азиатско-Тихоокеанская математическая олимпиада, 2025 год

Рассмотрим бесконечную последовательность натуральных чисел $a_1, a_2, \ldots$ такую, что для любых натуральных $m \leq n$ число $100!\left(a_{m}+a_{m+1}+\cdots+a_{n}\right)$ кратно числу $a_{n-m+1} a_{n+m}$. Докажите, что эта последовательность либо ограничена, либо линейна. (Последовательность называется ограниченной, если существует константа $N$ такая, что $a_n < N$ для всех $n \in \mathbb{N}$. Последовательность линейна, если $a_n = n \cdot a_1$ для всех $n \in \mathbb{N}$.)