XX математическая олимпиада «Шелковый путь», 2025 год

Множество $S$ вещественных чисел вместе с каждым своим элементом $x$ содержит число $1+\frac{1}{x}$. Может ли в $S$ быть ровно 2025 элементов? ( А. Голованов )

Комментарий/решение

$x; x_1=1+\frac{1}{x}=f(x); x_2=1+\frac{1}{x_1}=f(x_1)=f^2(x); x_{2024}=1+\frac{1}{x_{2023}}=f^{2024}(x); x_{2025}=1+\frac{1}{x_{2024}}=x_k$ где $2024\ge k \ge 0$

$1)k>0\Rightarrow 1+\frac{1}{x_{k-1}}=x_k=x_{2025}=1+\frac{1}{x_{2024}}\Rightarrow k=2025 \varnothing$

$2)k=0. (!) f(x)=\dfrac{F_{n+1}x+F_n}{F_nx+F_{n-1}}$ База $n=1:f(x)=\dfrac{x+1}{x}$ Переход $n\rightarrow n+1:f^{n+1}f(x)=f(f^n(x))=f(\dfrac{F_{n+1}x+F_n}{F_nx+F_{n-1}})= \dfrac{\frac{F_{n+1}x+F_nx+F_n+F_{n-1}}{F_nx+F_{n-1}}}{\frac{F_{n+1}x+F_n}{F_nx+F_{n-1}}}= \dfrac{F_{n+2}x+F_{n+1}}{F_{n+1}x+F_{n}}$

$f^{2025}(x)=x_{2025}=\dfrac{F_{2026}x+F_{2025}}{F_{2025}x+F_{2024}}=x\Rightarrow F_{2025}x^2-x(F_{2026}-F_{2024})-F_{2025}=0\Rightarrow x^2=x+1\Rightarrow x=1+\frac{1}{x}=x_1\varnothing$

Ответ: не существует

да

Пусть f(x) = 1 + 1/x. Так как x ∈ S ⇒ f(x) ∈ S, множество S замкнуто

относительно f.

Для любого n ≥ 1:

fⁿ(x) = (Fₙ₊₁x + Fₙ)/(Fₙx + Fₙ₋₁),

где Fₙ — числа Фибоначчи.

Условие fⁿ(x) = x эквивалентно уравнению:

Fₙx² + (Fₙ₋₁ − Fₙ₊₁)x − Fₙ = 0.

Так как Fₙ₊₁ = Fₙ + Fₙ₋₁, получаем:

x² − x − 1 = 0.

Отсюда:

x = (1 ± √5)/2.-любая периодическая точка

Получается периодических точек 2 т.к корней уравнения тоже 2 а именно:

φ = (1 + √5)/2 и ψ = (1 − √5)/2

Никаких других циклов>1 нет.

Если множество S замкнуто относительно f и конечно,то оно разбивается на циклы f.Сверху написано, что возможные циклы — только точки фиксированные,

а их суммарно не более 2.

Значит, конечное S может иметь размер 0, 1 или 2.

Ответ: нет, не может.