Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2025-2026 учебный год, I тур дистанционного этапа

2025 тақтаның әрқайсысына бір натурал саннан жазылған. Келесі операцияны орындауға болады: қандай да бір тақтадағы санды өшіріп, сол санның орнына оның кубын жазуға, ал қалған 2024 тақтадағы әрбір санның орнына, сәйкесінше, оны үшке бөлгенде шығатын бүтін санды жазуға болады (егер үшке бөлгенде кем дегенде бір бөлінді бүтін болмаса, операцияны орындау мүмкін емес!). Осындай бірнеше (кем дегенде бір) операцияны орындағаннан кейін, соңғы операциядан кейін әр тақтада бастапқы (сол тақтадағы бастапқы) сан қалатындай етіп, осы 2025 тақтаға бір саннан жазып шығуға бола ма? ( С. Берлов, А. Голованов )

Комментарий/решение

Ответ: Да, может

Пример: пусть на k-той доске стоит число $$3^{k+1011}$$

Достаточно, “кубировать” число на k-той доске на k-той операции. Т.е. это число сначала поделистя на 3 k-1 раз, а затем кубируется и потом поделится на 3 2025-k раз. Проверим, то что этот пример верен.

Т.е. Получим:

$$3^{3(k+1011-k+1)}:3^{2025-k}=3^{k+1011} \Rightarrow$$

$$3k+3033-3k+3-2025+k=k+1011 \Rightarrow 0=0$$ чтд