12-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2025 год, первая лига, 7-8 классы

На рисунке ниже дан фрагмент плитки из мечети в городе Исфахан. Фрагмент состоит из пяти различных типов многоугольников. Он включает правильный пятиугольник и правильный десятиугольник, причём все стороны имеют одинаковую длину. Шестиугольник в этом фрагменте имеет четыре равных угла, а два других угла также равны между собой. Найдите величины отмеченных углов на рисунке.

Комментарий/решение

Заметим,что можно найти угол ромба по шести и десяти угольнику ,этот угол будео равен 144,дальше по ромбам находим угол шестиугольника,который нам надо найти,после легкого подсчета углов должно выйти 1-ый угол- 360-144-72=144 и второй угол будет равен 72 .Ответ:144,72

Кто сказал что это ромб

*Причем все стороны имеют одинаковую длину*

А ок

Угол при правильном многоуголнике можна найти исползуя формулу

((n-2)*180):n

Правильный десятиугольник

((10-2)*180):10=144

Возьмем нужные нам углы: \alpha и \beta

Мы можем на картинке заметить что

Один угол десятиугольника +которые нам нужны=360

Получаем

144+\alpha+\beta=360

\alpha+\beta=216

\beta=216-\alpha

Теперь нам нужны сумма внутренных углов мы можем взять с формулой (n-2)*180

(6-2)*180=720

Так как 4 угла и 2 угла взаимно равны

У нас получаеться формула 4*\alpha+2*\beta=720

Подставляем \beta

4*\alpha+432-2*\alpha=720

2*\alpha=720-432=288

\alpha=144

\beta=216-144=72

Ответ: 144;72