12-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2025 год, первая лига, 7-8 классы

Дан выпуклый четырёхугольник, в котором каждая диагональ больше любой из его сторон. Докажите, что длина каждой диагонали этого четырёхугольника меньше, чем $\sqrt{3}$, умноженная на длину одной из сторон.

Комментарий/решение

Стороны-a,b,c,e

Диогонали-d_{1},d_{2}

AB=a

BC=b

Докажем от обратного AC\geq\sqrt{3}*a AC\geq\sqrt{3}*b

AC^2\geq 3*a^2 AC^2\geq 3*b^2

3*a^2\leq a^2+b^2-2*a*b*\cos(\angle B)

2*a^2-b^2\leq -2*a*b*\cos(\angle B)

AC>a,AC>b

Мы можем рассмотреть случай a=b

2*a^2-a^2\leq -2*a^2*\cos(\angle B)

a^2\leq -2*a^2*\cos(\angle B)

\cos(\angle B)\leq -1/2

\angle B\geq 120

При расмотрение всех вариантов выходить что углы больше 120

Возьмем наименьший:120+120+120+120=480

480>360 противоречия

Значить диоганали больше чем стороны умножены на \sqrt{3}