12-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2025 год, третья лига, 11-12 классы

Дөңес $ABCD$ төртбұрышы $\omega$ шеңберіне іштей сызылған. $X$ және $Y$ нүктелері тиісінше $DB$ және $CA$ сәулелерінде $DA=DX$, $CB=CY$ болатындай орналасқан. $AX$ және $BY$ түзулері $CD$-ны тиісінше $P$ және $Q$ нүктелерінде қияды. $APC$ және $BQD$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлердің радикаль осі мен $AB$ қабырғасының орта перпендикуляры $\omega$-ның бойында қиылысатынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Пусть $M$ середина дуг $ABD.$ Так как $\angle ADB=\angle AMB\Rightarrow \angle DAX=\angle MBA\Rightarrow \angle MAP=\angle DBA=\angle PCA\Rightarrow MA$ касается $(APC),$ аналогично $MB$ касается $(BQD)\Rightarrow$ $M$ лежит на рад ось $(APC)$ и $(BQD)\blacksquare$

Әдемі шешім