Областная олимпиада по математике, 2026 год, 11 класс

$ABC$ үшбұрышының $C$ төбесі арқылы $AB$-ға параллель $\ell$ түзуі жүргізілген. Центрі $O_1$ болатын әрі $\ell$, $AB$ түзулерін және $AC$ кесіндісін жанайтын, центрі $O_2$ болатын әрі $\ell$, $AB$ түзулерін және $BC$ кесіндісін жанайтын шеңберлер берілген (шеңберлер $\triangle ABC$-ның сыртында жатыр). $AB$ кесіндісінде $\angle AO_1N=\angle BO_2N$ болатындай $N$ нүктесі алынған. $ACB$ бұрышының биссектрисасы $O_1N$ және $O_2N$ түзулерін сәйкесінше $M$ және $K$ нүктелерінде қисын. $AB$ қабырғасының ортасы $\triangle MNK$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберінің центрі болатынын дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

1) Утверждение: докажем что $O_1A, O_2B$ и биссектриса $ACB$ пересекаются в одной точке.

Если $I$ - инцентр $ABC$ и $P \in CI \cap AB$ и $V \in CI \cap O_1A$ тогда $(CP, IV) = 1$ значит $V$ - есть точка пересечения всех трех биссектрис.

Очевидно что $\angle BO_2C = \angle AO_1C = 90^{\circ}$ .

2) Пусть $T \in AB , \ O_1T \perp AB , \ G \in l , \ O_2G \perp l$ так же $n$ это перпендикуляр к $O_2B$ с точки $O_1$ если $N_1 \in n \cap AB$ и $n || O_2C$ тогда так же очевидно что треу-и $CO_2G, \ O_1N_1T$ по углам и сторонам $O_2G=O_1T$, тогда $TN_1=CG$ и $O_1N_1=CO_2$ то есть $O_1CO_2N_1$ параллелограмм.

3) Из второго пункта следует что $N_1 = N$ , счетом углов можно показать что $\angle KVB = \angle ANK$ , то есть $KNBV$ - вписанный , аналогично $VNMA$

4) Если $O$ - середина $AB$ тогда проведем перпендикуляр $a$ из точки $O$ к $KN$ он будет параллелен $AV$ так как $KN ||AI$ тогда $a$ средняя линия $AVB$ и треугольник $KPN$ поворотно(относительно биссектрисы угла $P$) гомотетичен $VPB$ откуда $a$ пересекает $KN$ так же в середине, аналогично и с $MN$ тогда $O$ является точкой пересечения серединных перпендикуляров в треугольнике $MKN$