Областная олимпиада по математике, 2026 год, 11 класс

$\omega$ шеңберіне тең бүйірлі $ABC$ үшбұрышы ($AC=BC$) іштей сызылған. $AB$ кесіндісінде $D$ нүктесі алынған ($D$ нүктесі $B$-ге қарағанда $A$-ға жақынырақ). $\omega$ шеңберінің кіші $CB$ доғасында $K$ нүктесі таңдалады. $D$ нүктесі арқылы өтетін және $CK$-ға перпендикуляр болатын түзу $AK$ және $BK$ түзулерін тиісінше $P$ және $Q$ нүктелерінде қиып өтеді. Осындай $PQK$ үшбұрыштарына сырттай сызылған барлық шеңберлер $K$ нүктесінің таңдалуына қарамастан, тұрақты бір нүкте арқылы өтетінін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Докажем что искомая точка E это пересечение $\omega$ и описанный окружность $\triangle BKQ$. Возьмем точку $F=ED \cap \omega$

$180-\angle EPD=\angle EPQ= \angle EKQ= \angle EAB \Rightarrow EDPE$вписанный.

Следовательно $\angle EDQ= \angle EAK=\angle EFK \Rightarrow FK \parallel DQ \Rightarrow \angle CKF= 90^\circ \Rightarrow CF-диаметр.$ Следовательно точка Е фиксированна