Областная олимпиада по математике, 2026 год, 11 класс

В окружность $\omega$ вписан равнобедренный треугольник $ABC$ ($AC=BC$). На отрезке $AB$ отмечена точка $D$ ($D$ ближе к $A$, чем к $B$). На меньшей дуге $CB$ окружности $\omega$ выбирается точка $K$. Прямая, проходящая через $D$ и перпендикулярная $CK$, пересекает прямые $AK$ и $BK$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что все окружности, описанные около таких треугольников $PQK$, проходят через фиксированную точку, независимо от выбора точки $K$. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Докажем что искомая точка E это пересечение $\omega$ и описанный окружность $\triangle BKQ$. Возьмем точку $F=ED \cap \omega$

$180-\angle EPD=\angle EPQ= \angle EKQ= \angle EAB \Rightarrow EDPE$вписанный.

Следовательно $\angle EDQ= \angle EAK=\angle EFK \Rightarrow FK \parallel DQ \Rightarrow \angle CKF= 90^\circ \Rightarrow CF-диаметр.$ Следовательно точка Е фиксированна

Пусть $G$ является вторым пересечением $DW$ с $\omega$, где $W$ есть середина дуги $AB$ без точки $C$. Покажем, что точки $P, G, Q, K$ на одной окружности. Обозначим

$X = DQ \cap CK$, $M$ есть середина $AB$. Заметим, что точки $D$, $M$, $X$, $C$, $G$ на окружности диаметра $CD$ $\Rightarrow$ $\angle XDM = \angle XDB = \angle MCX = \angle WCK = \angle WAK =\angle DAP + \angle APD$ $\angle WAD = \angle AGD = \angle APD$, тогда точки $A,G,P,D$ на одной окружности. $\angle DAG = \angle GPQ = \angle GKQ$. Последнее равенство обеспечено вписанностью $AGKB$, чтд.