Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2025-2026 учебный год, I тур регионального этапа

$ABC$ үшбұрышында $K$ нүктесі оның $BL$ биссектрисасының ортасы. $AK=AL$ және ${AK\perp BC}$ екені белгілі. $\angle ABC$ бұрышы неше градусқа тең?\avtor{П. Кожевников} ( П. Кожевников )

Комментарий/решение

Допустим угол $\angle ABL=x$.Так как $BL$ биссектриса угла $\angle ABC$.$\angle ABL=\angle LBC$.Пусть высота выпущенная из точки $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $D$.Значит угол $\angle BKD=\angle AKL=\angle KLA=90-x$.Можем найти угол $\angle KAL=2x$ и $\angle BAK=90-2x$.Значит угол $\angle BAC=90$.$BK=KL=AK=AL$ потому что $K$ медиана выпущенный из прямого угла.Из этого следует что $\triangle LAK$ равностороний.Значит $2x=90-x=90-x=60$.A угол $\angle ABC=2x=60$.

Ответ:$\angle ABC=60$