43-я Балканская математическая олимпиада. Греция, Салоники, 2026 год

Пусть $n$ - положительное целое число. Доска размером $2 n \times 2 n$ покрыта доминошками размером $2 \times 1$ и $1 \times 2$. Повернуть доминошку означает выбрать один из двух её единичных квадратов и повернуть всю доминошку либо на $90^{\circ}$ по часовой стрелке, либо на $90^{\circ}$ против часовой стрелки, либо на $180^{\circ}$ вокруг центра выбранного квадрата. Докажите, что всегда можно одновременно повернуть каждую доминошку так, чтобы после выполнения всех поворотов доминошки по-прежнему образовывали покрытие доски.