9-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 3 тур

В треугольнике $ABC$ биссектрисы внутренних углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $I$. На стороне $AB$ отмечена точка $D$ такая, что $AC-BC = BD-AD$. Прямая, проходящая через $D$ и параллельная $AI$, пересекает продолжение стороны $AC$ в точке $X$, а прямая, проходящая через $D$ и параллельная $BI$, пересекает продолжение стороны $BC$ в точке $Y$. Докажите, что \[ \angle DXY-\angle DYX=\frac{1}{2}\left(\angle ABC-\angle BAC\right). \]

Комментарий/решение

Сначала отметим углы $\angle ABC = B$, $\angle BAC = A$, тогда как

$\angle BAI = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{A}{2} = \angle DAI = \angle ADX$

Так как $\angle BAC = \angle XDA + \angle DXA$ и $\angle ADX = \angle DXA = \frac{A}{2}$, значит треугольник $ADX$ равнобедренный, $AD = AX$ Аналогично $BD = BY$

Из условия $CY = BC + BY = CB + BD = AC + AD = AC + AX = CX$

Треугольник $XYC$ тоже равнобедренный,

$\angle CXY = \angle CYX = \frac{180^\circ - \angle XCY}{2} = \frac{180^\circ - \angle ACB}{2} = \frac{180^\circ - (180^\circ - A - B)}{2}$

$\angle DXY - \angle DYX = (\angle CXY - \angle CXD) - (\angle CYX - \angle CYD) = \frac{B - A}{2} = \frac{\angle ABC - \angle BAC}{2}$