9-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 3 тур

Задача №1. Сколькими способами можно выбрать тройку цифр $(a,b,c)$ (не обязательно различных) так, чтобы для суммы трёх трёхзначных чисел выполнялись неравенства $$400 < \overline{a23}+\overline{1b3}+\overline{12c} < 900 \, ?$$
комментарий/решение

---

Задача №2. Дана последовательность натуральных чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_9$, в которой каждый её член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих. Рассмотрим выражение $$S=* \ a_{1} \ * \ a_{2}\ * \ \ldots\ * \ a_{9}.$$ Могло ли оказаться так, что после замены каждой звёздочки на знак «${+}$» или «${-}$» в выражении, будет выполнено равенство $S=2025$?
комментарий/решение

---

Задача №3. Имеется набор из 99 карточек, на которых написаны различные целые числа от 1 до 99 (на каждой карточке — по одному числу). Вася и Петя по очереди откладывают в один единственный ящик по одной карточке, начинает Вася. Проигрывает тот, после чьего хода среди отложенных карточек в ящике найдутся две, сумма чисел на которых делится на 11. Определите, кто выиграет независимо от ходов соперника.
комментарий/решение

---

Задача №4. В треугольнике $ABC$ биссектрисы внутренних углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $I$. На стороне $AB$ отмечена точка $D$ такая, что $AC-BC = BD-AD$. Прямая, проходящая через $D$ и параллельная $AI$, пересекает продолжение стороны $AC$ в точке $X$, а прямая, проходящая через $D$ и параллельная $BI$, пересекает продолжение стороны $BC$ в точке $Y$. Докажите, что \[ \angle DXY-\angle DYX=\frac{1}{2}\left(\angle ABC-\angle BAC\right). \]
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  Назовём натуральное число $n$ красивым, если при записи чисел ${n^2+1}$ и $n^2$ друг за другом в указанном порядке, полученное новое число является полным квадратом.
   а) Приведите пример красивого числа.
   б) Верно ли, что красивых чисел бесконечно много? ( Хакимгали А. )
комментарий/решение(3)

---