9-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 3 тур

Есеп №1. Үш таңбалы үш санның қосындысы үшін $$400 < \overline{a23}+\overline{1b3}+\overline{12c} < 900$$ теңсіздіктері орындалатындай етіп, $(a,b,c)$ цифрлар үштігін неше тәсілмен таңдауға болады? (Таңдалған цифрлар әртүрлі болуы міндетті емес.)
комментарий/решение

---

Есеп №2. $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_9$ натурал сандар тізбегі берілген, мұнда үшінші мүшеден бастап әрбір мүше алдыңғы екі мүшесінің қосындысына тең. \[ S=* \ a_{1} \ * \ a_{2}\ * \ \ldots\ * \ a_{9} \] өрнегін қарастырайық. Өрнектегі әрбір жұлдызшаны «$+$» немесе «$-$» таңбасымен алмастырғаннан кейін, $S=2025$ теңдігі орындалуы мүмкін бе?
комментарий/решение

---

Есеп №3. $1$-ден $99$-ға дейінгі әртүрлі бүтін сандар жазылған $99$ карточкадан тұратын жиын бар (әр карточкада бір ғана сан жазылған). Вася мен Петя кезекпен бір-бір карточкадан бір жалғыз жәшікке салып отырады, бірінші болып Вася бастайды. Кімнің жүрісінен кейін жәшіктегі карточкалардың арасында сандарының қосындысы $11$-ге бөлінетін екі карточка табылса, сол ойыншы жеңіледі. Қарсыласының жүрістеріне қарамастан, бұл ойында кім жеңетінін анықтаңыз.
комментарий/решение

---

Есеп №4. $ABC$ үшбұрышында $A$ және $B$ ішкі бұрыштарының биссектрисалары $I$ нүктесінде қиылысады. $AB$ қабырғасында $D$ нүктесі $AC-BC = BD-AD$ болатындай етіп алынған. $D$ нүктесі арқылы жүргізілген және $AI$ түзуіне параллель түзу $AC$ қабырғасының жалғасын $X$ нүктесінде, ал $D$ нүктесі арқылы жүргізілген және $BI$ түзуіне параллель түзу $BC$ қабырғасының жалғасын $Y$ нүктесінде қиып өтеді. Келесі теңдікті дәлелдеңіз: \[ \angle DXY-\angle DYX=\frac{1}{2}\left(\angle ABC-\angle BAC\right). \]
комментарий/решение(1)

---

Есеп №5. Егер натурал $n$ саны үшін $n^2+1$ санына $n^2$ санын жалғап жазғаннан кейін, шыққан жаңа сан толық квадрат болса, онда ондай $n$ санын әдемі сан деп атаймыз.
   а) Әдемі санның бір мысалын келтіріңіз.
   б) «Әдемі сандардың саны шексіз көп» деген тұжырым рас па? ( Хакимгали А. )
комментарий/решение(3)

---