9-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 3 тур

Назовём натуральное число $n$ красивым, если при записи чисел ${n^2+1}$ и $n^2$ друг за другом в указанном порядке, полученное новое число является полным квадратом.
   а) Приведите пример красивого числа.
   б) Верно ли, что красивых чисел бесконечно много? ( Хакимгали А. )

Комментарий/решение

Пускай $n = 10^k - 1$:

$(10^k - 1)^2 = 10^{2k} - 2 \times 10^k + 1$. Заметим $(10^{2k} - 10^k + 1)^2 = 10^{4k} - 2 \times 10^{3k} + 3 \times 10^{2k} - 2 \times 10^k + 1 = (10^{2k} - 2 \times 10^k + 2) \times 10^{2k} + (10^{2k} - 2 \times 10^k + 1) = (n^2+1) \times 10^{2k} + n^2$. Здесь надо учесть что $10^{2k-1} \le n^2 < 10^{2k}$ (очень легко проверяется).

Замечание: интересно, то что такие и только такие n являются красивыми

Сэр,можете показать почему только такие числа не уродливые?