9-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 3 тур

Назовём натуральное число $n$ красивым, если при записи чисел ${n^2+1}$ и $n^2$ друг за другом в указанном порядке, полученное новое число является полным квадратом.
   а) Приведите пример красивого числа.
   б) Верно ли, что красивых чисел бесконечно много? ( Хакимгали А. )

Комментарий/решение

Пускай $n = 10^k - 1$:

$(10^k - 1)^2 = 10^{2k} - 2 \times 10^k + 1$. Заметим $(10^{2k} - 10^k + 1)^2 = 10^{4k} - 2 \times 10^{3k} + 3 \times 10^{2k} - 2 \times 10^k + 1 = (10^{2k} - 2 \times 10^k + 2) \times 10^{2k} + (10^{2k} - 2 \times 10^k + 1) = (n^2+1) \times 10^{2k} + n^2$. Здесь надо учесть что $10^{2k-1} \le n^2 < 10^{2k}$ (очень легко проверяется).

Замечание: интересно, то что такие и только такие n являются красивыми

Сэр,можете показать почему только такие числа не уродливые?

Пускай у $n^2$ ровно $d$ цифр, тогда $(n^2+1)\times 10^d + n^2 = m^2$. При нечетном $d$ $m^2 \equiv -1 \pmod{11}$, что влечет противоречие. Тогда $d = 2k$.

Заметим $\lceil 10^{k-0.5}\rceil \le n \le 10^k - 1$. Пускай $y = 10^k - n$. Составное число f(n) = $10^{4k} - 2y \cdot 10^{3k} + (y^2+2) \cdot 10^{2k} - 2y \cdot 10^k + y^2$. Сравним с $m^2$. $m = 10^{2k} - у \times 10^k + 1$. $m^2 = 10^{4k} - 2y \cdot 10^{3k} + (y^2 +2) \cdot 10^{2k} - 2y \cdot 10^k + 1$,

Тогда $f(n) - m^2 = y^2 - 1$. Если бы $y = 1$, то $f(n) = m^2$. Иначе легко показать $(m+1)^2 - f(n) > 0$ (подставив их определения), откуда $m^2 < f(n) < (m+1)^2$, но между соседними квадратами нет квадратов, откуда $f(n)$ квадрат только если $y = 1$, значит только $1 = y = 10^k - n$, $n = 10^k - 1$ подходит.