30-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Румыния, 2026 год

$n\ge 3$ бүтін саны берілсін. Шеңбер бойымен орналасқан $n$ түрлі түсті шам бар. Шамның батырмасын бір рет басқанда оның түсі келесі тәртіппен өзгереді: $$\text{жасыл}\rightarrow\text{қызыл},\qquad \text{қызыл}\rightarrow\text{көк},\qquad \text{көк}\rightarrow\text{жасыл}. $$ Бастапқыда барлық шамдар қызыл түске боялған. Аладдин осы шамдармен жүрістер жасайды. Әрбір жүріс келесі үш әрекеттен тұрады:
   $\bullet$ ол $L$ шамын таңдайды, бірақ оның батырмасын баспайды;
   $\bullet$ $L$ шамынан сағат тілі бағыты бойынша көршілес шамның батырмасын бір рет басады;
   $\bullet$ $L$ шамынан сағат тіліне қарсы бағыттағы көршілес шамның батырмасын екі рет басады. Әрбір $n$ үшін, шектеулі санды жүрістерден кейін бір мезетте жасыл түске боялуы мүмкін шамдардың ең үлкен санын анықтаңыз.

Комментарий/решение

Пусть вместо красного цвета стоит цифра $0$, вместо синего $1$, вместо зеленого. Изначально стоят только $0$, значит сумма равна $0$ и делится на $3$. За ход к одному числу добавляем $2 \pmod{3}$ а к другому $1 \pmod{3}$, $2+1\equiv 0 \pmod{3}$, значит сумма чисел $\pmod{3}$ --- инвариант. Откуда при $n \equiv 1 \pmod{3}$ ответ $n-2$, при $n \equiv 2 \pmod{3}$ ответ $n-1$, при $3 \mid n$ ответ $n$. Пример очень простой, хватает доказать что любые $6$ подряд идущих чисел можно увеличить на $2 \pmod{3}$. Таким образом рассматриваем остаток $\pmod{6}$, и к каждому приводим $(1,2,3,4,5$ нулей) пример, как придти к остатку $\pmod{3}$.