30-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Румыния, 2026 год

Пусть $n\ge 3$ — целое число. Имеются $n$ цветных лампочек, расположенных по кругу. Одно нажатие на кнопку лампочки изменяет её цвет следующим образом: $$ \text{зелёный}\rightarrow\text{красный},\qquad \text{красный}\rightarrow\text{синий},\qquad \text{синий}\rightarrow\text{зелёный}. $$ Изначально все лампочки окрашены в красный цвет. Аладдин выполняет ходы над этими лампочками. Каждый ход состоит из следующих трёх действий:
   $\bullet$ он выбирает лампочку $L$, не нажимая на её кнопку;
   $\bullet$ он один раз нажимает кнопку лампочки, расположенной по часовой стрелке от $L$;
   $\bullet$ он дважды нажимает кнопку лампочки, расположенной против часовой стрелки от $L$. Для каждого $n$ определите максимально возможное число лампочек, которые могут одновременно быть зелёными после конечного числа ходов.

Комментарий/решение

Пусть вместо красного цвета стоит цифра $0$, вместо синего $1$, вместо зеленого. Изначально стоят только $0$, значит сумма равна $0$ и делится на $3$. За ход к одному числу добавляем $2 \pmod{3}$ а к другому $1 \pmod{3}$, $2+1\equiv 0 \pmod{3}$, значит сумма чисел $\pmod{3}$ --- инвариант. Откуда при $n \equiv 1 \pmod{3}$ ответ $n-2$, при $n \equiv 2 \pmod{3}$ ответ $n-1$, при $3 \mid n$ ответ $n$. Пример очень простой, хватает доказать что любые $6$ подряд идущих чисел можно увеличить на $2 \pmod{3}$. Таким образом рассматриваем остаток $\pmod{6}$, и к каждому приводим $(1,2,3,4,5$ нулей) пример, как придти к остатку $\pmod{3}$.