Математикадан республикалық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 10 сынып

Сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышында $M$ және $N$ сәйкес $AC$ және $BC$ қабырғаларының ішкі нүктелері. Ал $K$ нүктесі $MN$ кесіндісінің ортасы болсын. $C$-дан өзге $D$ нүктесі $CAN$ және $BCM$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберледрің қиылысыу нүктесі болсын. $CD$ түзуі $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі арқылы өткенде ғана $AB$ кесіндісінің ортасына тұрғызылған перпендикуяр $K$ нүктесі арқылы өтетінін дәлелде.

Комментарий/решение

Пусть у нас имеется треугольник $ABC$ и $OF$ - серединный перпендикуляр $F \in AB$, возьмем некоторую точку $M$ как по условию, проведем прямую $l || OF$ через точку $M$, так же $C'$ симметричная к $C$ отн $OF$ и $O$ центр описанной окружности $ABC$ если $G$ пересечение $l$ и описанной окружности $BCM$ тогда $\angle BGM = \angle BCM = \angle BOF$ значит $B,O,G$ лежат на одной прямой, опишем окружность около $BGC'$ пусть она пересекает $l$ в точке $N'$ получаем $\angle BC'N' = \angle BGM = \angle BCM = \angle BCA = \angle BC'A$ или $N' \in AC'$ тогда отразим эту окружность симметрична окружность отн-о $OF$ тогда она пересекает по построению $BC$ в точке $N$ для которой выполняется очевидно $MK=NK$ где $K \in MN \cap OF$ но тогда $O$ является рад центром окружностей $ACN, \ BC'N', \ BMG$ что доказывает задачу