Математикадан республикалық олимпиада, 2002-2003 оқу жылы, 10 сынып

$B$ және $C$ бұрыштары сүйір $ABC$ үшбұрышы берілгсн. $L$ және $M$ төбелері сәйкес $AB$ және $AC$ қабырғаларында, ал $N$ және $K$ төбелері $BC$ қабырғасында жататындай етіп, осы үшбұрышка іштей $KLMN$ тіктөртбұрышы сызылған. Тіктөртбұрыштың центрін $O$ деп белгілейік. $BO$ және $CO$ түзулері тіктөртбұрыштың $MN$ және $LK$ қабырғаларын сәйкес ${{C}_{1}}$ және ${{B}_{1}}$ нүктелерінде қияды. $AO$, $B{{B}_{1}}$ және $C{{C}_{1}}$ түзулерінің бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Пусть $F$ пересечение $AO$ и $BC$, так же $E$ пересечение $CO, MN$ и $D$ пересечение $LK, BO$ если $G \in CC_1 \cap AO$ и $X \in BB_1 \cap AO$ тогда по цепочке двойных отношений : $$(AO,GF) \stackrel{C}{=} (ME, C_1N) \stackrel{O}{=} (KB_1, DL) \stackrel{B}{=} (FX, OA) = (AO, XF) $$ последнее по свойству, значит $G =X$