Республиканская олимпиада по математике, 2008 год, 11 класс

На стороне $AB$ треугольника $ABC$ выбрана точка $K$. Продолжение стороны $AC$ (за точку $C$) и касательная из точки $K$ к вписанной окружности треугольника $ABC$ пересекаются в точке $N$. Проведена окружность $\omega$, касающаяся сторон $AC$, $AB$ и описанной окружности треугольника $AKN$. Доказать, что описанная окружность треугольника $ABC$ касается $\omega$.

Комментарий/решение

1) Точка $I$ инцентр, пусть $E,F$ точки пересечения окружностей $R=AI$ с центром в $A$ назовем ее $\lambda$ и описанной $ABC$.

2) Если $l$ это касательная к вписанной окружности с $ABC$ параллельная к $BC$ и $J \in l \cap AB$ тогда покажем что $AJ \cdot AC = AI^2$ $(1)$, это следует из подобия треугольников $AJI, \ AIC$ а подобие следует из счета углов.

3) Тогда рассмотрим инверсию описанной окр $ABC$ относительно $\lambda$, она перейдет как известно в прямую $EF$, но тогда симметричная прямая к $l$ относительно биссектрисы $\angle BAC$ учитывая $(1)$ это и будет $EF$.

Точно так же описанная окружность около $AKN$ переходить в прямую $K'N'$ которая касается вписанную окружность.

4) Значит вписанная окружность при этой инверсии переходит в окружность $\omega$ которая касается описанную окружность $ABC$