Математикадан республикалық олимпиада, 2007-2008 оқу жылы, 11 сынып

$ABC$ үшбұрышының $AB$ қабырғасынан $K$ нүктесі алынған. $AC$ қабырғасының ($C$ нүктесінің арғы жағына) созындысы мен $K$ нүктесінен $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңберге жүргізілген жанама $N$ нүктесінде қиылысады. $AC$, $AB$ қабырғаларын және $AKN$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді жанайтын $\omega $ шеңбері жүргізілген. $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің $\omega $ шеңберін жанайтынын дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

1) Точка $I$ инцентр, пусть $E,F$ точки пересечения окружностей $R=AI$ с центром в $A$ назовем ее $\lambda$ и описанной $ABC$.

2) Если $l$ это касательная к вписанной окружности с $ABC$ параллельная к $BC$ и $J \in l \cap AB$ тогда покажем что $AJ \cdot AC = AI^2$ $(1)$, это следует из подобия треугольников $AJI, \ AIC$ а подобие следует из счета углов.

3) Тогда рассмотрим инверсию описанной окр $ABC$ относительно $\lambda$, она перейдет как известно в прямую $EF$, но тогда симметричная прямая к $l$ относительно биссектрисы $\angle BAC$ учитывая $(1)$ это и будет $EF$.

Точно так же описанная окружность около $AKN$ переходить в прямую $K'N'$ которая касается вписанную окружность.

4) Значит вписанная окружность при этой инверсии переходит в окружность $\omega$ которая касается описанную окружность $ABC$