21-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2025 год

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Положительные числа $a$ и $b$ таковы, что $a^3+b^3=ab+1$. Докажите, что $(a-b)^2+a+b \geq 2.$ ( Ануарбеков Т. )
комментарий/решение(10)

Задача №2. Маша и Витя играют в игру на доске, имеющей форму правильного 1001-угольника. Вначале все вершины доски белые и в одной из них стоит фишка. На каждом ходу Маша называет произвольное натуральное число $k$, затем Витя выбирает направление по или против хода часовой стрелки и сдвигает фишку в выбранном направлении на $k$ вершин. Если в конце хода фишка оказывается в белой вершине, эта вершина закрашивается в красный цвет. Найдите наибольшее количество красных вершин, которого Маша может добиться вне зависимости от действий Вити, если количество ходов не ограничено. ( М. Карпук )
комментарий/решение(2)

Задача №3. Пару натуральных чисел $(x, y)$ назовем хорошей, если $x$ и $y$ не делятся друг на друга, а множества простых делителей $x$ и $y$ совпадают. Даны различные взаимно простые натуральные числа $a$ и $b$. Докажите, что существует бесконечно много натуральных $n$, для каждого из которых найдётся натуральное $m$ такое, что пара $(a^n+bm, b^n+am)$ хорошая. ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(1)

Задача №4. У Васи есть доска, на которой написано 999 последовательных натуральных чисел, а также 999 бумажек с надписями «Это число не делится на 2», «Это число не делится на 3», $\dots$, «Это число не делится на 1000». Вася приклеит по одной из своих бумажек к каждому из чисел на доске, а затем ему дадут по конфете за каждую бумажку, на которой окажется верное утверждение. Какое наибольшее количество конфет Вася сможет заработать, каковы бы ни были числа на доске? ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

Задача №5. В окружность $\Omega$ с центром $O$ вписан выпуклый шестиугольник $A_1C_2B_1B_2C_1A_2$. Лучи $A_1B_1$ и $A_2B_2$ пересекаются в точке $P$, а отрезки $A_1C_1$ и $A_2C_2$ — в точке $Q$. Окружность $\Gamma_1$ касается прямых $OB_1$ и $OC_1$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно, а окружность $\Gamma_2$ касается прямых $OB_2$ и $OC_2$ в точках $B_2$ и $C_2$ соответственно. Докажите, что существует гомотетия с центром на прямой $PQ$, переводящая $\Gamma_1$ в $\Gamma_2$. ( П. Кожевников, Зауытхан А. )
комментарий/решение(4)

Задача №6. Для целого $n>1$ обозначим через $S_n$ множество всех перестановок чисел $1,2,\dots,n$, то есть множество всех взаимно однозначных отображений $\sigma\colon \{1,2,\dots,n\}\to\{1,2,\dots,n\}$. Пару целых чисел $(a,b)$, где $1\leqslant a < b\leqslant n$, назовём {\it расширяющейся} для перестановки $\sigma\in S_n$, если $|\sigma(a)-\sigma(b)|\geqslant |a-b|$.
(а) Верно ли, что при любом целом $n > 1$ найдется перестановка $\sigma\in S_n$, для которой количество расширяющихся пар меньше, чем $1000n\sqrt n$?
(б) Существуют ли целое $n>1$ и перестановка $\sigma\in S_n$ такие, что количество расширяющихся пар для $\sigma$ меньше, чем ${1\over 1000}n\sqrt n$? ( И. Богданов )
комментарий/решение

результаты