қазақша
русский21-я Международная Жаутыковская олимпиада по математике, 2025 год
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Есеп №1. Оң $a$ және $b$ сандары үшін $a^3+b^3=ab+1$ теңдігі орындалады. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: $(a-b)^2+a+b \geq 2.$
(
Ануарбеков Т.
)
комментарий/решение(15)
комментарий/решение(15)
Есеп №2. Маша мен Витя дұрыс $1001$-бұрыш пішіндес тақтада ойын ойнауда. Бастапқыда тақтаның барлық төбелері ақ түске боялған, және қандай да бір төбеде бір дойбы орналасқан. Әр жүрісте Маша өз еркімен кез келген натурал $k$ санын таңдайды, содан кейін Витя бағытты таңдап (сағат бағытымен немесе сағат бағытына қарсы), сол бағытта дойбыны $k$ төбеге жылжытады. Жүріс соңында дойбы ақ төбеге түссе, сол төбе қызыл түске боялады. Егер ойында жүрістер саны шектеусіз болса, онда Витяның әрекеттеріне қарамастан, Маша ең көбі неше төбенің қызыл түске боялуын қамтамасыз ете алады?
(
М. Карпук
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. Егер натурал $x$ және $y$ сандары бір-біріне бөлінбесе, бірақ екеуінің жай бөлгіштерінің жиыны бірдей болса, онда $(x, y)$ сандар жұбын әдемі жұп деп атаймыз. Өзара жай болатын әртүрлі натурал $a$ және $b$ сандары берілген. $(a^n+bm, b^n+am)$ жұбы әдемі жұп болатындай шексіз көп натурал $n$ сандары бар екенін (әрі әр осындай $n$-ге $m$ саны табылатынын) дәлелдеңіз.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Васяның тақтасында қатар келген 999 натурал сан жазылған. Сонымен қатар, Васяда «Бұл сан 2-ге бөлінбейді», «Бұл сан 3-ке бөлінбейді», $\dots$, «Бұл сан 1000-ға бөлінбейді» деген мәлімдемелерімен 999 карта бар. Вася тақтада жазылған әр санға өзінің бір картасын жабыстырады. Барлық карталарды жабыстырып болған соң, әр мәлімдемесі дұрыс болған карта үшін Вася бір кәмпит алады. Тақтада қандай сандар жазылғанына қарамастан, Вася ең көбі қанша кәмпит ала алады?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №5. Центрі $O$ нүктесі болатын $\Omega$ шеңберіне дөңес $A_1C_2B_1B_2C_1A_2$ алтыбұрышы іштей сызылған. $A_1B_1$ және $A_2B_2$ сәулелері $P$ нүктесінде, ал $A_1C_1$ және $A_2C_2$ кесінділері $Q$ нүктесінде қиылысады. $\Gamma_1$ шеңбері $OB_1$ және $OC_1$ түзулерін, сәйкесінше, $B_1$ және $C_1$ нүктелерінде жанайды, ал $\Gamma_2$ шеңбері $OB_2$ және $OC_2$ түзулерін, сәйкесінше, $B_2$ және $C_2$ нүктелерінде жанайды. $PQ$ түзуінің бойынан, $\Gamma_1$ шеңберін $\Gamma_2$ шеңберіне өткізетін гомотетияның центрі табылатындығын дәлелдеңіз.
(
П. Кожевников,
Зауытхан А.
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №6. $n>1$ бүтін саны үшін $1,2,\dots,n$ сандарының барлық орын ауыстыруларының жиынын (яғни $\sigma\colon \{1,2,\dots,n\}\to\{1,2,\dots,n\}$ болатын өзара біртекті анықталатын барлық жиынды) $S_n$ деп белгілейік. Егер $\sigma\in S_n$ орын ауыстырылымындағы $1\leqslant a < b\leqslant n$ сандары үшін ${|\sigma(a)-\sigma(b)|}\geqslant {|a-b|}$ теңсіздігі орындалса, онда $(a,b)$ бүтін сандар жұбын кеңейген сандар жұбы деп атаймыз.
(a) Кез келген $n>1$ бүтін саны үшін $\sigma$-ның кеңейген жұптар саны $1000n\sqrt n$ санынан кем болатындай $\sigma \in S_n$ орын ауыстыруы табылады деген тұжырым дұрыс па?
(b) $\sigma$-ның кеңейген жұптар саны ${1\over 1000}n\sqrt n$ санынан кем болатындай бүтін $n>1$ саны мен $\sigma \in S_n$ орын ауыстыруы табылады ма? ( И. Богданов )
комментарий/решение
(a) Кез келген $n>1$ бүтін саны үшін $\sigma$-ның кеңейген жұптар саны $1000n\sqrt n$ санынан кем болатындай $\sigma \in S_n$ орын ауыстыруы табылады деген тұжырым дұрыс па?
(b) $\sigma$-ның кеңейген жұптар саны ${1\over 1000}n\sqrt n$ санынан кем болатындай бүтін $n>1$ саны мен $\sigma \in S_n$ орын ауыстыруы табылады ма? ( И. Богданов )
комментарий/решение