қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по математике, 2025 год, 11 класс
Есеп №1. $2^a+3^b=5^c\cdot d$ және $2^b+3^a=5^d\cdot c$ теңдіктері орындалатындай, барлық $(a,b,c,d)$ натурал сандар төрттіктерін табыңыз.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Кез келген $m,n\in \mathbb N$ сандары үшін $f(mf(n))+f(n)=f(nf(m)) + f(m)$ теңдігі орындалатындай барлық қатаң түрде өспелі $f:\mathbb N\to \mathbb N$ функцияларын табыңыз. (Бұл жерде $\mathbb N$ — натурал сандар жиыны.)
(
Абу А.
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №3. $ABC$ ($AB\neq AC$) үшбұрышында $I$ нүктесі — іштей сызылған шеңбер центрі, $I_A$ нүктесі — $BC$ қабырғасын жанайтын іштейсырт сызылған шеңбер центрі, $\Omega$ — сырттай сызылған шеңбер, ал $AD$ — биіктік. $\Omega$ шеңберінде $M$ нүктесі — $BAC$ доғасының ортасы, ал $AL$ — оның диаметрі. $IL$ және $I_AD$ түзулері $P$, ал $ID$ және $I_AL$ түзулері $Q$ нүктесінде қиылысады. $S$ нүктесі үшін $SA = SM$ және $SP = SL$ теңдіктері орындалады. $AP, MQ$ және $I_AS$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіз.
(
Зауытхан А.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. Нақты оң $x, y$ сандары мен натурал $n$ саны үшін\[\left\lfloor\frac{x^{n+1}}{y^n} \right\rfloor = \left\lfloor\frac{x}{y} \right\rfloor + \left\lfloor\frac{y^{n+1}}{x^n} \right\rfloor \] теңдігі орындалады. $\dfrac{-1}{2n+1} < x-y < \dfrac{2}{2n-1}$ екенін дәлелдеңіз. (Бұл жерде $\lfloor t\rfloor$ арқылы $t$ санының бүтін бөлігі, яғни $t$-дан аспайтын ең үлкен бүтін сан белгіленген.)
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. Тең бүйірлі емес $ABC$ үшбұрышында $M$ нүктесі — $AB$ қабырғасының ортасы, $I$ — іштей сызылған шеңбер центрі, ал $J$ — $\triangle ABC$-ға сырттай сызылған шеңбердің $C$-ны қамтымайтын $AB$ доғасының ортасы. Центрі $J$ және радиусы $JM$ болатын шеңберге $IP$ және $IQ$ жанамалары жүргізілген (мұнда $A$ мен $P$ нүктелері $CI$ түзуінің бір жағында жатыр). $APJ$ және $BQJ$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет $R$ нүктесінде қиылысады. $IP$ және $IQ$ түзулері $AB$ түзуін, сәйкесінше, $X$ және $Y$ нүктелерінде қияды. $MX_1$ және $MY_1$, сәйкесінше, $XMJ$ және $YMJ$ үшбұрыштарының биссектрисалары. $X_1, Y_1$ және $R$ нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №6. $k+1 < 2n$ болатындай натурал $n$ және $k$ сандары берілген. $a_1+a_2+\cdots+a_{2n}=0$, және барлық $i=1,2,\ldots,2n$ үшін $a_i\in\{1,-1\}$ және $a_1+a_2+\cdots+a_i\ge 0$ шарттарын қанағаттандыратын $(a_1,a_2,\ldots,a_{2n})$ тізбектер жиынын $A$ деп белгілейік. $a_k=1$ болатын $A$-ның барлық ішкі жиынын $B$ деп, ал $a_{k+1}=1$ болатын $A$-ның барлық ішкі жиынын $C$ деп белгілейік. $|B|\cdot |C|\ge |A|\cdot |B\cap C|$ теңсіздігін дәлелдеңіз. (Бұл жерде $|X|$ арқылы $X$ жиынының элементтер саны белгіленген.)
(
Д. Елиусизов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)